Question

5．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，-2）是抛物线y=x²+n的T型点，则n的取值范围是（　　）

• A． n≥-1
• B． n≤-1
• C． n≥-$\frac{5}{4}$
• D． n≤-$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 y=x²+n是对称轴为y轴的抛物线，顶点为（0，n），根据新定义可知：H与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线AH与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点M、N，根据题意得∠AHO=30°，∠OAH=60°，OH=2，利用三角函数求出点A的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有H（0，-2）是抛物线y=x²+n的T型点，因此列方程x²+n=$\sqrt{3}$x-2，有解时才有结论得出，即△≥0，解不等式即可．

解答 解：如图，∵H（0，-2）是抛物线y=x²+n的T型点，
∴∠AHO=30°，
tan30°=$\frac{OA}{OH}$，
OA=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴A（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
∴通过H的直线的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-2，
∵y=x²+n，
∴当x²+n=$\sqrt{3}$x-2有解时，才有H（0，-2）是抛物线y=x²+n的T型点，
即△=3-4（n+2）≥0，
n≤-$\frac{5}{4}$，
∴当n≤-$\frac{5}{4}$时，H（0，-2）是抛物线y=x²+n的T型点，
故选D．

点评 本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，等边三角形各角都是60°，熟练掌握三线合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时，与方程组相结合，就是方程组的解．