Question

19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．
（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周长是多少．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{AO}{OC}=1$，
∴OM=ON．

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，
∴BO=$\sqrt{{AB}^{2}{-AO}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}{-（8÷2）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$BD=2BO=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=8，
∴△BDE的周长是：
BD+DE+BE
=BD+AC+（BC+CE）
=4$\sqrt{5}$+8+（6+6）
=20$+4\sqrt{5}$
即△BDE的周长是20$+4\sqrt{5}$．

点评 （1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（2）此题还考查了三角形的周长的含义以及求法，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．