Question

11．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c，求解即可；
（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM₁，则△AM₁C是等腰三角形，然后求出OM₁得出M₁的坐标，当CA=CM₂时，则△AM₂C是等腰三角形，求出OM₂得出M₂的坐标，当CA=AM₃时，则△AM₃C是等腰三角形，求出OM₃得出M₃的坐标，当CA=CM₄时，则△AM₄C是等腰三角形，求出OM₄得出M₄的坐标，
（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S_△BOC，再根据△BPD∽△BOC，得出$\frac{{S}_{△BDP}}{{S}_{△BOC}}$=（$\frac{BP}{BO}$）²，$\frac{{S}_{△BPD}}{6}$=（$\frac{4-t}{4}$）²，求出S=S_△BPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，得出$\frac{{S}_{△APE}}{3}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，求出S=S_△ABC-S_△APE=9-$\frac{3（t+2）^{2}}{4}$，再整理即可．

解答 解：（1）把A（-2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=4a-2b+c}\\{0=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{3}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；

（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM₁，则△AM₁C是等腰三角形，
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△CNM₁∽△COA，
∴$\frac{CN}{CO}$=$\frac{C{M}_{1}}{CA}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{3}$=$\frac{C{M}_{1}}{\sqrt{13}}$，
∴CM₁=$\frac{13}{6}$，
∴OM₁=OC-CM₁=3-$\frac{13}{6}$=$\frac{5}{6}$，
∴M₁的坐标是（0，$\frac{5}{6}$），
当CA=CM₂=$\sqrt{13}$时，则△AM₂C是等腰三角形，
则OM₂=3+$\sqrt{13}$，
M₂的坐标是（0，3+$\sqrt{13}$），
当CA=AM₃=$\sqrt{13}$时，则△AM₃C是等腰三角形，
则OM₃=3，
M₃的坐标是（0，-3），
当CA=CM₄=$\sqrt{13}$时，则△AM₄C是等腰三角形，
则OM₄=$\sqrt{13}$-3，
M₄的坐标是（0，3-$\sqrt{13}$），

（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，
设直线与BC交于点D，
∵OB=4，OC=3，
∴S_△BOC=6，
∵BP=BO-OP=4-t，
∴$\frac{BP}{BO}$=$\frac{4-t}{4}$，
∵△BPD∽△BOC，
∴$\frac{{S}_{△BDP}}{{S}_{△BOC}}$=（$\frac{BP}{BO}$）²，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{6}$=（$\frac{4-t}{4}$）²，
∴S=S_△BPD=$\frac{3}{8}$t²-3t+6（0≤t＜4）；
当点P在y轴左侧时，
设直线与AC交与点E，
∵OP=-t，A（-2，0），
∴AP=t+2，
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{t+2}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，
∴$\frac{{S}_{△APE}}{3}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，
∴S_△APE=$\frac{3（t+2）^{2}}{4}$，
∴S=S_△ABC-S_△APE=9-$\frac{3（t+2）^{2}}{4}$=-$\frac{3}{4}$t²-3t+6（-2＜t＜0）．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．