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【题目】如图所示,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以点O为圆心,6为半径的优弧分别交OA、OB于点M、N.

(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证:AP = BP′;

(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切于点T,求点T到OA的距离;

(3)设点Q在优弧上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.

【答案】(1)根据已知得出∠AOP=∠BOP′,从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案。

2

310°170°

【解析】试题分析:(1)首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′,进而得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案;

2)利用切线的性质得出∠ATO=90°,再利用勾股定理求出AT的长,进而得出TH的长即可得出答案;

3)当OQ⊥OA时,△AOQ面积最大,且左右两半弧上各存在一点分别求出即可.

试题解析:(1)如图1

∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP

∴∠AOP=∠BOP′

△AOP△BOP′

∴△AOP≌△BOP′SAS),

∴AP=BP′

2)如图1,连接OT,过点TTH⊥OA于点H

∵AT与弧MN相切,

∴∠ATO=90°

AT===8

×OA×TH=×AT×OT

×10×TH=×8×6

解得:TH=,即点TOA的距离为

3)如图2,当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大;

理由:∵OQ⊥OA

∴QO△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°

Q点在优弧MN右侧上,

∵OQ⊥OA

∴QO△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,

∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°

综上所述:当∠BOQ的度数为10°170°时,△AOQ的面积最大.

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