Question

10．如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC、BD交于点G，I₁、I₂、I₃分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心．证明：I₃G⊥I₁I₂．

Answer 1

分析 分别连接AI₃，AI₁，DI₁，DI₂，CI₁，CI₂，延长I₃G交I₁I₂于点H，根据I₁、I₂、I₃分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心得到∠AI₃G=90°+$\frac{1}{2}$∠ABD，∠AI₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC，从而得到点D、I₁、I₂、C四点共圆，利用∠I₃HI₁=360°-（∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H）=90°，得到I₃G⊥I₁I₂．

解答 证明：分别连接AI₃，AI₁，DI₁，DI₂，CI₁，CI₂，
延长I₃G交I₁I₂于点H，
∵I₁、I₂、I₃分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心，
∴∠AI₃G=90°+$\frac{1}{2}$∠ABD，∠AI₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠DI₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠DAC，∴∠DI₂C=90°+$\frac{1}{2}$∠DBC，
∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAC+∠BAC），
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DI₁C=∠DI₂C，
∴点D、I₁、I₂、C四点共圆，
∴∠I₂I₁C=∠I₂DC=$\frac{1}{2}$∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠I₃HI₁=360°-（∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H）
∵∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H=$\frac{1}{2}$（∠DAC+∠BAC）+90°+$\frac{1}{2}$∠ABD+90°+$\frac{1}{2}$∠ADC-I₂I₁C
=180°+$\frac{1}{2}$（∠DAC+∠BAC+∠ABD+∠ADC+∠BAC）
=180°+$\frac{1}{2}$（∠ABD+∠DBC+∠ADC）
=270°，
∴∠I₃HI₁=360°-270°=90°，
∴I₃G⊥I₁I₂．

点评 本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是正确的构造辅助线，利用院内接四边形的性质求解，属于难题，了解三角形的五心的性质是解决本题的重中之重．