Question

18．已知正三角形ABC的面积为9$\sqrt{3}$cm，求这个正三角形的边长、边心距、半径、周长．

Answer 1

分析 由正三角形的性质和三角函数得出AD=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，由正三角形的面积即可得出AB=6cm，得出三角形的周长，由正三角形ABC的面积=三个三角形的面积和，即可得出正三角形的边心距，正三角形的半径=边心距的2倍，即可得出结果．

解答 解：在正三角形ABC中，AD=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=9$\sqrt{3}$，
解得：AB=6（cm），
∴AB+BC+AC=3×6=18（cm），
又∵正三角形ABC的面积=3×$\frac{1}{2}$BC•OD=9$\sqrt{3}$，
解得：OD=$\sqrt{3}$，
∴OC=2OD=2$\sqrt{3}$cm，
即这个正三角形的边长为6cm，边心距为$\sqrt{3}$cm，半径为2$\sqrt{3}$cm，周长为18cm．

点评 本题考查了正三角形和圆的关系、正三角形的性质、三角函数、正三角形的边长、边心距、半径、周长的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，熟记正三角形的边长、边心距、半径之间的关系是解决问题的关键．