已知.如图.在平面直角坐标系内.点A的坐标为.经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B.点B坐标为．(1)求直线l1.l2的表达式,(2)点C为线段OB上一动点.作CD∥y轴交直线l2于点D.过点C.D分别向y轴作垂线.垂足分别为F.E.得到矩形CDEF,①设点C的纵坐标为a.求点D的坐标,②若矩形CDEF的面积为60.请直接写出此时点C的坐标．(3)在线段OB是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l₁与经过点A的直线l₂相交于点B，点B坐标为（18，6）．
（1）求直线l₁，l₂的表达式；
（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l₂于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF；
①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标；（用含a的代数式表示）
②若矩形CDEF的面积为60，请直接写出此时点C的坐标．
（3）在线段OB是否存在一点C，使得矩形CDEF的面积最大？若存在求C点坐标，并求出矩形CDEF的最大面积，若不存在说明理由．

分析（1）从图中看以看出l₁是正比例函数，l₂是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l₁、l₂的解析式；
（2）已知点C的纵坐标及点C在直线l₁上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l₂上，易得点D的坐标；根据矩形的面积=长×宽，即可求得矩形CDEF的坐标；
（3）首先设矩形CDEF的面积为S，然后用含有a的代数式表示面积S，得到一个二次函数；根据二次函数的最大值，即可求得矩形CDEF的最大面积．

解答解：（1）设直线l₁的表达式为y=k₁x，
∵过点B（18，6），
∴18k₁=6，
解得：k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直线l₁的表达式为y=$\frac{1}{3}$x；
设直线l₂的表达式为y=k₂x+b，
∵过点A （0，24），B（18，6）
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=24}\\{18{k}_{2}+b=6}\end{array}\right.$，解得：k₂=-1，b=24，
∴直线l₂的表达式y=-x+24；
（2）①∵点C在直线l₁上，
且点C的纵坐标为a，
∴a=x，
解得：x=3a，
∴点C的坐标为（3a，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标为3a，
∵点D在直线l₂上，
∴y=-3a+24，
∴D（3a，-3a+24）；
②∵C（3a，a），D（3a，-3a+24）
∴CF=3a，CD=-3a+24-a=-4a+24，
∵矩形CDEF的面积为60，
∴S_矩形CDEF=CF•CD=3a×（-4a+24）=60，
解得a=1或a=5，
当a=1时，3a=3，故C（3，1）；
当a=5时，3a=15，故C（15，5）．
综上所述，点C的坐标为：（3，1）或C（15，5）．
（3）设矩形的面积为S，则S=CF•CD=3a（-4a+24）=-12a²+72a=-12（a²-6a+3²-9）=-12（a-3）²+108，
∵（a-3）²≥2，∴当a=3时，S有最大值108．

点评本题主要考查待定系数法、矩形的面积、二次函数最值、一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解决第（1）小题的关键；根据点C的纵坐标及两条直线的解析式求得点C、点D的坐标是解决第（2）小题的关键；在第（3）小题中，看到求最大值就想到二次函数是解题的一种思路．

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