Question

6．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明．
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）要找出全部的全等三角形，就要从已知的条件求出未知的条件．△ABC是等边三角形，所以AC=BC，又CD=CE，所以BD=AE=EF，很容易就可以求得△CDE，△AEF为等边三角形，所以∠BDE=∠CEF，所以△BDE≌△FEC；
（2）由∠AEF=∠CED=60°，EF=EA，得出△AEF为等边三角形，由内错角相等，两直线平行得出AF∥BD，得出AF=BD，由平行四边形的判定定理即可得出结论；

解答 （1）△BDE≌△FEC，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴∠EDC=∠DEC=60°，∠DEC=60°=∠AEF，
∵AF=EF，
∴∠BDE=∠FEC=120°，△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AE，
∵CD=CE，
∴BC-CD=AC-CE，
∴BD=AE，
又∵EF=AE，
∴BD=FE，
在△BDE与△FEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{∠EDB=∠CEF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（SAS）；

（2）解：四边形ABDF是平行四边形，
理由是：∵∠AEF=∠CED=60°，EF=EA，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AFE=∠FDC=60°，
∴AF∥BD，
∵AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD，
∴AF∥BD且AF=BD，
∴四边形ABDF为平行四边形．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质及判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，综合运用各种判定定理进行推理是解此题的关键．