Question

16．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径为R，求等边三角形ABC的边长，边心距、周长和面积．

Answer 1

分析 连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，∠OBD=30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式即可求出面积．

解答 解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，如图所示：
∵正△ABC外接圆是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
即边心距OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$R，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
即三角形边长为BC=2BD=$\sqrt{3}$R，AD=AO+OD=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R，
则△ABC的周长=3BC=3×$\sqrt{3}$R=3$\sqrt{3}$R；
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$R×$\frac{3}{2}$R=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²．

点评 本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点；关键是能正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．