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    4．如图，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点顺时针旋转得到的．O′在x的正半轴上，B的坐标为（1，3）．
    （1）如果二次函数y=x2+bx+c的图象经过O、O′两点，求这个二次函数解析式；
    （2）求边C′O′所在直线的函数解析式；
    （3）将上述抛物线作适当平移，得抛物线y1=a（x-h）2，当4＜x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值．

    分析 （1）连接OB，O′B，根据旋转的性质可得OB=O′B，从而求得点O′的坐标，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
    （2）设点D的坐标是（1，a），表示出O′D的长度，然后利用勾股定理列式求出a的值，从而得到点D的坐标，再根据待定系数法列式即可求出直线C′O′的解析式；
    （3）先把y=x2-2x配成顶点式，易得抛物线C1：y1=（x-1）2，再求出抛物线与直线y=x的交点坐标，于是可得到y1≤x恒成立的m的范围，则可得到m的最大值．

    解答 解（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
    ∵四边形OABC是矩形，
    ∴BA⊥OA，
    ∴AO=AO′，
    ∵B点的坐标为（1，3），
    ∴OA=1，
    ∴AO′=1，
    ∴点O′的坐标是（2，0），
    ∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过O、O′两点，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
    ∴二次函数的解析式为y=x2-2x；

    （2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
    ∵点B的坐标是（1，3），
    ∴O′D=3-a，
    在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
    ∴a2+12=（3-a）2，
    解得a=$\frac{4}{3}$，
    ∴点D的坐标为（1，$\frac{4}{3}$），
    设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
    则 $\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
    解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
    ∴边C′O′所在直线的解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

    （3）y=x2-2x=（x-1）2-1，所以将抛物线向上平移1个单位得抛物线C1：y1=（x-1）2，
    解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1）^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
    所以当4＜x≤m时，y1≤x恒成立，则m的最大值为$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

    点评 本题是对二次函数的综合考查，主要有矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理等，综合性较强，难度中等，需仔细分析细心计算．

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