Question

（2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

Answer 1

分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．

解答：解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

，即

2

m-x

=

x

y

，
∴y=-

1

2

x²+

m

2

x．

（2）∵y=-

1

2

x²+

m

2

x=-

1

2

（x-

m

2

）²+

m2

8

，
∴当x=

m

2

时，y取得最大值，最大值为

m2

8

．
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴

m2

8

≤1，解得m≤2

2

．
∴m的取值范围为：0＜m≤2

2

．

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB．
∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，
∴∠GAP=∠APB，
∴∠GAP=∠APG，
∴AG=PG=PC．

解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，
则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH²+HE²=GE²，
即：x²+（2-y）²=y²，化简得：x²-4y+4=0  ①
由（1）可知，y=-

1

2

x²+

m

2

x，这里m=4，∴y=-

1

2

x²+2x，
代入①式整理得：3x²-8x+4=0，解得：x=

2

3

或x=2，
∴BP的长为

2

3

或2．
解法二：如解答图所示，连接GC．
∵AG∥PC，AG=PC，
∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG．
易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．
过点G作GN⊥PC于点N，则GN=2，PN=PC-CN=4-2x．
在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN²+GN²=PG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
整理得：x²-8x+4=0，解得：x=

2

3

或x=2，
∴BP的长为

2

3

或2．
解法三：过点A作AK⊥PG于点K，
∵∠APB=∠APG，
∴AK=AB．
易证△APB≌△APK，
∴PK=BP=x，
∴GK=PG-PK=4-2x．
在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK²+AK²=AG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
整理得：3x²-8x+4=0，
解得：x=

2

3

或x=2，
∴BP的长为

2

3

或2．

点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．