Question

（2013•扬州）如图，抛物线y=x²-2x-8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．
（1）求直线AB对应的函数关系式；
（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数解析式，求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据M的横坐标和直尺的宽度，求出P的横坐标，再代入直线和抛物线解析式，求出MN、PQ的长度表达式，再比较即可．

解答：解：（1）当x=0时，y=-8；当y=0时，x²-2x-8=0，
解得，x₁=4，x₂=-2；则A（0，-8），B（4，0）；
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（0，-8），B（4，0）分别代入解析式得

b=-8 4k+b=0

；
解得，

k=2 b=-8

．
故一次函数解析式为y=2x-8；

（2）∵M点横坐标为m，则P点横坐标为（m+1）；
∴MN=（2m-8）-（m²-2m-8）=2m-8-m²+2m+8=-m²+4m；
PQ=[2（m+1）-8]-[（m+1）²-2（m+1）-8]=-m²+2m+3；
∴MN-PQ=（-m²+4m）-（-m²+2m+3）=2m-3；
①当2m-3=0时，m=

3

2

，即MN-PQ=0，MN=PQ；
②当2m-3＞0时，

3

2

＜m＜3，即MN-PQ＞0，MN＞PQ；
③当2m-3＜0时，0＜m＜

3

2

，即MN-PQ＜0，MN＜PQ．

点评：本题考查了二次函数综合题型，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，同时需要分类讨论．