Question

1．矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-$\frac{3}{4}$x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax²-$\frac{9}{4}$x经过点A，求此抛物线的表达式及对称轴；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为坐标轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出点M和符合条件的点P的坐标．
（4）设（3）中符合条件的△POM面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，代入函数值，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据对称轴公式，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定：平行三角形一边与其它两边相交所得的三角形相似，两个角分别相等的两个三角形相似，可得答案；
（4）根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：（1）直线y=-$\frac{3}{4}$x与BC边相交于D点，
当y=-3时，x=4，即D（4，-3）；
（2）将A点坐标代入y=ax²-$\frac{9}{4}$x，得
36a-$\frac{27}{2}$=0，解得a=$\frac{3}{8}$，
函数解析式为y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{9}{4}$，
对称轴是x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-\frac{9}{4}}{\frac{3}{8}}$=3；
（3），
点M的横坐标为3，代入直线求得M（3，-$\frac{9}{4}$），
①∠P₁OM∠ODC，∠OP₁M=∠OCD，△OP₁M∽△△DCO，M（3，-$\frac{9}{4}$），得
对称轴与x轴的交点P₁符合，P₁（3，0），
②过M作y轴的垂线交y轴于点P₂，P₂M∥CD，M（3，-$\frac{9}{4}$），得
则P₂符合条件解得P₂（0，-$\frac{9}{4}$），
③过M作OM的垂线分别交x轴、y轴于点P₃、P₄，
OM的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，
P₃P₄的解析式y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{25}{4}$，
∠P₃OM=∠ODC，∠P₃MO=∠DCO，△P₃OM∽△ODC，当y=0时，解得x=$\frac{75}{16}$，则P₃（$\frac{75}{16}$，0），
∠P₄OM=∠DOC，∠P₄MO=∠DCO，△P₄MO∽△DCO，当x=0时，解得y=-$\frac{25}{4}$，P₄（0，-$\frac{25}{4}$），
综上所述：P₁（3，0），P₂（0，-$\frac{9}{4}$），P₃（$\frac{75}{16}$，0），P₄（0，-$\frac{25}{4}$）；
（4）Rt${\;}_{△OM{P}_{4}}$以OM为较短直角边，面积最大，S=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×3=$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系是求点与坐标轴的交点坐标的关键，待定系数求函数解析式，相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三角形的面积公式．