Question

5．图中曲线是反比例函数y=$\frac{n+7}{x}$的图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
（2）若一次函数y=-$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$的图象与反比例函数图象交于点A，与x轴交于B，△AOB的面积为2，求n的值．
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=$\frac{n+7}{x}$ 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以n+7＜0即可求解；
（2）图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=$\frac{1}{2}$|k|，可利用△AOB的面积求出n值．
（3）当线段PQ长度取得最小值时，过原点O的直线l的解析式为y=-x，容易得出P、Q的坐标，由勾股定理即可得出结果．

解答 解：（1）根据题意得：这个反比例函数图象的另一支位于第四象限．
由n+7＜0，
解得n＜-7
即常数n的取值范围是n＜-7；
（2）在一次函数y=-$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$中，令y=0，得x=2，
即OB=2．
过A作x轴的垂线，垂足为C，如图．
∵S_△AOB=2，即 $\frac{1}{2}$OB•AC=2，
∴$\frac{1}{2}$×2×AC=2，
解得：AC=2，
即A点的纵坐标为2．
把y=2代入一次函数y=-$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$中，得x=-1，即A（-1，2）．
∴2=$\frac{n+7}{-1}$，
解得：n=-9．
（3）如图2所示：
当线段PQ长度取得最小值时，过原点O的直线l的解析式为y=-x，
∴直线l与双曲线的交点P、Q的坐标分别为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴PQ=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4．
即线段PQ长度的最小值为4．

点评 本题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数中k的几何意义、勾股定理．熟记图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=$\frac{1}{2}$|k|．