Question

【题目】已知如图，是边长为的正的边上一点，交于，交于，设．

求的面积与的函数关系式和自变量的取值范围．

当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？

若与由、、三点组成的三角形相似，求的长．

Answer 1

【答案】（1），自变量的取值范围,；（2）当，的面积最大．最大面积是；（3）或．

【解析】

（1）判断出△BDE和△DEF的形状，利用60°的正弦值用DF表示出DC，进而得到BD，DE，利用三角形的面积公式求得函数关系式．

（2）根据已知的函数关系式求出顶点坐标即可得知△EDF的面积最大值与x的取值.
（3）由相似得到△DEF是含30°的直角三角形，可利用所给的2个特殊的直角三角形都用BD表示出DF的长度，然后即可求得BD长．

∵是正三角形，且，

∴，

∴是等边三角形，，

∴．

，

．

，

∵在上，

∴，

当时，，，

（等于时，和重合）

∴自变量的取值范围．

∵，

，

∴当，的面积最大．

最大面积是．（答案有问题）

当，

∴．

∴．

∵，，

∴，

∴．

解得：．

当，

同理可得：，

∴或．