如图.已知Rt△ABO.∠BAO＝90°.以点O为坐标原点.OA所在直线为y轴.建立平面直角坐标系.AO＝3.∠AOB＝30°.将Rt△ABO沿OB翻折后.点A落在第一象限内的点D处． (1)求D点坐标, (2)若抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)经过B.D两点.求此抛物线的表达式, (3)若抛物线的顶点为E.它的对称轴与OB交于点F.点P为射线OB上一动点.过点P作y轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知Rt△ABO，∠BAO＝90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO＝3，∠AOB＝30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．

(1)求D点坐标；

(2)若抛物线y＝ax²＋bx＋3(a≠0)经过B、D两点，求此抛物线的表达式；

(3)若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是(－，)．

答案：
解析：

　　(1)过点D作DC⊥x轴于点C，如图(1)．(1分)

　　由翻折可知：DO＝AO＝3，

　　∠AOB＝∠BOD＝30°，

　　∴∠DOC＝30°．

　　在Rt△COD中，

　　OC＝OD·cos30°＝3×＝，

　　CD＝OD·sin30°＝3×＝，

　　∴D()．(4分)

　　(2)在Rt△AOB中，

　　AB＝AO·tan30°＝3×＝，

　　∴B(，3)．

　　∵抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过B(，3)，D()两点，

　　∴

　　解得

　　∴此抛物线表达式为y＝－x²＋x＋3．(8分)

　　(3)存在符合条件的点P，设P(x，y)，

　　作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图(2)．

　　∵E为抛物线y＝－x²＋x＋3的顶点，

　　∴E()．(10分)

　　设OB所在直线的表达式为y＝kx，

　　将点B(，3)代入，得k＝，

　　∴y＝x．

　　∵P在射线OB上，

　　∴P(x，x)，F()．

　　则H(x，)，G(x，)．

　　∵M在抛物线上，M．

　　要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH＝GM．

　　，(12分)

　　即－x²＋x＋3＋x＝5．

　　解得x₁＝2，x₂＝．

　　∴P₁点坐标为(2，6)，P₂点坐标为()．

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