Question

6．如图，已知两点A （0，2）、B（9，4），BC⊥x轴于C，若线段OC上的点P使以AOP为顶点的三角形与△BCP相似，则点P的横坐标为1或3或8．

Answer 1

分析 由A （0，2）、B（9，4），可得OA=2，BC=4，OC=9，然后设OP=x，则PC=9-x，再分别从当△AOP∽△PCB时，$\frac{AO}{PC}=\frac{OP}{BC}$与当△AOP∽△BCP时，$\frac{AO}{BC}=\frac{OP}{CP}$，去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵A （0，2）、B（9，4），
∴OA=2，BC=4，OC=9，
设OP=x，则PC=9-x，
①当△AOP∽△PCB时，$\frac{AO}{PC}=\frac{OP}{BC}$，
∴$\frac{2}{9-x}=\frac{x}{4}$，
解得：x₁=1，x₂=8，
∴点P的横坐标为1或8；
②当△AOP∽△BCP时，$\frac{AO}{BC}=\frac{OP}{CP}$，
∴$\frac{2}{4}=\frac{x}{9-x}$，
解得：x=3，
∴点P的横坐标为3；
综上：点P的横坐标为1或3或8．
故答案为：1或3或8．

点评 此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．