Question

已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40°，如果D、E是直线AB上的两点，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：分类讨论

分析：分当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E’的为时，当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时几种情况分类讨论后利用等腰三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图2，

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2=40°÷2=20°．
（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E′的为时，如图3，
与（1）类似地也可以求得∠D'CE'=∠ACB÷2=20°．
（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图4，

∵BE′=BC，∴∠BE'C=（180°-∠CBE'）÷2=∠ABC÷2，
∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
又∵∠DCE'=180°-（∠BE'C+∠ADC），
∴∠DCE'=180°-（∠ABC+∠BAC）÷2=180°-（180°-∠ACB）÷2
=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°．
（4）当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图5，
∵AD′=AC，
∴∠AD′C=（180°-∠D′AC）÷2=（180°-∠BAC）÷2，
∵BE=BC，
∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∴∠D′CE=（180°-∠ACB）÷2=（180°-40°）÷2=70°，
故∠DCE的度数为20°或110°或70°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质等知识，体现了分类讨论的数学思想，难度较大．