Question

如图，已知△OAB的顶点为A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．
（1）写出C点的坐标为

 

；
（2）设过A，D，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+6，求其解析式；
（3）证明AB⊥BE．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，进而可得C点的坐标；
（2）将A，C两点的坐标代入y=ax²+bx+6，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，则AB²+BE²=AE²，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．

解答：（1）解：∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，
∴C点坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；

（2）解：∵抛物线y=ax²+bx+6过点A（-6，0），C（2，0），
∴

36a-6b+6=0 4a+2b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=-2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²-2x+6；

（3）证明：连接AE．
∵y=-

1

2

x²-2x+6=-

1

2

（x+2）²+8，
∴顶点E的坐标为（-2，8）．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（-2-0）²+（8-2）²=40，AE²=（-2+6）²+（8-0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．

点评：本题主要考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握．