Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．
（Ⅰ）当矩形ABCD沿直线y=-x+1折叠时（如图1）．求点A′的坐标；
（Ⅱ）当矩形ABCD沿直线y=-

1

2

x+b折叠时（如图2），求点A′的坐标和b的值；
（Ⅲ）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图3、4、5所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上），①k的取值范围是（图3）

 

；②k的取值范围是（图4）

 

；③k的取值范围为（图5）

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（Ⅰ）由矩形ABCD沿直线y=-x+1折叠，根据轴对称的性质可得DA=DA′从而求得A′的坐标．
（Ⅱ） 矩形ABCD沿直线y=-

1

2

x+b折叠，可求得OE=b，OF=2b，AA′⊥EF，由于∠DOA′+∠A′OF=90°∠OFE+∠A′OF=90°，可得∠DOA′=∠OFE，进而求得△DOA′∽△OFE，可得A′的坐标及b的值．
（Ⅲ）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，在题中图3：-2≤k≤-1；图4中：-1≤k≤-2+

3

；图5中：-2+

3

≤k≤0．

解答：解：（Ⅰ）如图1直线y=-x+1与y轴交于点D（0，1）与OB交于的F（1，0），
故直线y=-x+1平分∠ODC
∵FA′⊥DC DO⊥OB
∴点A的坐标为（1，1）．
（Ⅱ）如图2设直线y=

1

2

x+b与OD交于点E，与OB交于点F连接A′O，则OE=b，OF=2b，
设点A′的坐标为（a，1）
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°
∴∠DOA′=∠OFE，
在△DOA′与△OFE中，

∠DOA′=∠OFE ∠ODA′=∠EOF

   
∴△DOA′∽△OFE（AA）
∴

DA′

OE

=

OD

OF

即

a

b

=

1

2b

∴a=

1

2

∴点A′的坐标为（

1

2

，1）
连接A′E，则A′E-OE=b
在直角三角形DEA′中，根据勾股定理有A′E²=A′D²+DE²
即b²=（

1

2

）²+（1-b）²
解得b=

5

8

；
（Ⅲ）设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A'O，则：
OE=b，OF=-

b

k

，
设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴

DA′

OE

=

DO

OF

，即

a

b

=

1

- b k

，
∴a=-k．
∴A′点的坐标为（-k，1）．（7分）
连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E²=A′D²+DE²，
∴b²=（-k）²+（1-b）²，
∴b=

k2+1

2

；
∴当对折线经过D时，k=-1，当对折线经过B时，k=-2+

3

，
∴在题中图3中：-2≤k≤-1；
图4中：-1≤k≤-2+

3

；
图5中：-2+

3

≤k≤0．

点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．