Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，交y轴与C点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点为点F，连接线段CF，连接直线BC，请问能否在直线BC上找到一个点M，在抛物线上找到一个点N，使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）存在，设出点D的坐标，将△DBC的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点D的坐标；
（3）根据平行四边形的性质，分①CF是边；②CF是对角线．

解答：解：（1）将A（1，0），B（-4，0）代入y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -16-4b+c=0

，
解得

b=-3 c=4

．
所以抛物线解析式为：y=-x²-3x+4；

（2）在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大．理由如下：
设D点坐标为（x，-x²-3x+4）（-4＜x＜0）．如图，过D点作DE⊥x轴于点E．
∵S_△DBC=S_{四边形BDCO}-S_△BOC=S_{四边形BDCO}-

1

2

×4×4=S_{四边形BDCO}-8，
若S_{四边形BDCO}有最大值，则S_△DBC就最大，
∴S_{四边形BDCO}=S_△BDE+S_{直角梯形DEOC}
=

1

2

BE•DE+

1

2

OE（DE+OC）
=

1

2

（x+4）（-x²-3x+4）+

1

2

（-x）（-x²-3x+4+4）
=-2x²-8x+8
=-2（x+2）²+16，
当x=-2时，S_{四边形BDCO}最大值=16．
∴S_△BDC最大值=16-8=8．
当x=-2时，-x²-3x+4=-（-2）²-3×（-2）+4=6，
∴点D坐标为（-2，6）；

（3）能够在直线BC上找到一个点M，在抛物线上找到一个点N，使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形．理由如下：
∵y=-x²-3x+4=-（x+

3

2

）²+

25

4

，
∴顶点F的坐标为（-

3

2

，

25

4

）．
∵B（-4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=x+4．
分两种情况：①CF是边．
如图，过点F作FN∥BC，交抛物线于点N，设直线FN的解析式为y=x+m，
把F（-

3

2

，

25

4

）代入，得-

3

2

+m=

25

4

，
解得m=

31

4

，
∴直线FN的解析式为y=x+

31

4

．
由

y=x+ 31 4 y=-x2-3x+4

，解得

x=- 5 2 y= 21 4

或

x=- 3 2 y= 25 4

，
∴点N的坐标为（-

5

2

，

21

4

）．
∵F（-

3

2

，

25

4

），N（-

5

2

，

21

4

），
∴FN²=（-

3

2

+

5

2

）²+（

25

4

-

21

4

）²=2．
∵四边形CFNM是平行四边形，
∴CM=FN．
设M点的坐标为（x，x+4），则
CM²=x²+（x+4-4）²=2x²=2，
解得x=±1，
x=1不合题意舍去，
∴x=-1，
∴M点的坐标为（-1，3）；
②CF是对角线．如图．
∵四边形CMFN是平行四边形，
∴FN∥BC，CM=FN．
由①可知，点N的坐标为（-

5

2

，

21

4

），M点的横坐标为1，
当x=1时，x+4=5，
∴M点的坐标为（1，5）．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（-1，3）或（1，5），点N的坐标为（-

5

2

，

21

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值求法，两函数交点坐标的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质等知识，难点在于（3）要分情况讨论．