Question

如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F，连接AC、BF，若EF=EC，试判断四边形ABFC是什么四边形，并证明．

Answer 1

考点：矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：压轴题,探究型

分析：由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；进而得出AB=FC，即可得出四边形ABFC是平行四边形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四边形ABFC是矩形．

解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∵

∠ABE=∠ECF BE=CE ∠AEB=∠FEC

，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
∴AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BE=EC，EF=EC，
∴BE=EF=EC，
∴△BFC是直角三角形，
则∠BFC=90°．
∴平行四边形ABFC是矩形．

点评：此题主要考查了矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出AB=CF是解题关键．