Question

【题目】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

（1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，AD、BE的交点为O，连结CO交AB于点F，求证：∠ACF=∠BCF．

（3）如图③，在（2）的条件下，若BE=CE，∠C=30°，△ABD沿AD翻折使点B落在边AC上的点M处，连结DM，其中AB=，则S△DCM= ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）利用AAS可证△PEO≌PDO，可得PD=PE；
（2）由角平分线的性质可得，OG=OH，OH=OI，可得OG=OI，由在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，可得结论；
（3）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可求∠BAC=90°，可求AE，BE，CE，BC的长，即可求BD=DM=CM的长，由三角形面积公式可求解．

证明：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，且∠BOC=∠AOC，OP=OP，
∴△PEO≌PDO（AAS）
∴PD=PE；

（2）如图，作OG⊥BC于G，OH⊥AB于H，OI⊥AC于I．

由（1）得，OG=OH，OH=OI．
∴OG=OI，且OG⊥BC，OI⊥AC，
∴点O在∠ACB的平分线上，
∴∠ACF=∠BCF．

（3）如图，连接AD，

∵BE=CE，
∴∠C=∠EBC=30°，
∵AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=30°，∠BAD=∠CAD．
∴∠BAC=90°，且AB=，
∴AE=1，BE=2=CE，
∴AC=3，BC=．
∵△ABD沿AD翻折使点B落在边AC上的点M处，
∴AB=AM=，BD=DM，∠AMD=∠ABC=60°
∴CM=AC-AM=，
∵∠MDC+∠MCD=∠AMD=60°，
∴∠MDC=∠MCD=30°，
∴MC=DM=BD=，CD=BC-BD=，

∴S△DMC==.