Question

如图，点P是直线y=与双曲线y=在第一象限内的一个交点，直线y=与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9．
（1）求k的值；（2）求△PBC的面积．

Answer 1

解：（1）∵A、C为直线y=与x轴、y轴的交点，
∴A（-4，0），C（0，2），
设B点坐标为（x，0），∵P是一次函数y=x+2上的点，PB垂直于x轴，
∴P点坐标为（x，x+2），
∴AB+PB=|OA|+|OB|+|PB|=4+x+x+2=x+6，
∵AB+PB=9，∴x+6=9，解得，x=2，∴P点坐标为（2，3），
∵P在双曲线y=上，
∴k=2×3=6．

（2）法1：∵A（-4，0），B（2，0），P（2，3），C（0，2），
∴S_△ABP-S_△ABC=|AB||BP|-|AB||OC|
=|AB|（|BP|-|OC|）=|-4-2|（3-2）=×6=3．
∴S_△PBC=3．
法2：S_△PBC=PB•OB=×2×3=3．
分析：（1）先根据一次函数的解析式求出A、C两点的坐标，根据P在一次函数的图象上设出P点及B点的坐标，根据AB+PB=9即可求出P点坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）根据P、A、B三点坐标即可求出△ABP的面积及△ABC的面积．二者之差即为△PBC的面积．
点评：本题综合考查了反比例函数及一次函数图象上点的坐标特点，三角形的面积公式、两点间的距离公式，具有一定的综合性，但难度适中．