Question

12．已知关于x的方程$\frac{{x}^{2}+2px+5}{2x-1}$=5x+p有且只有一个正实数根，则p的范围为p≥-5．

Answer 1

分析 先把分式方程化为整式方程，再根据只有一个正实数根，得出△≥0且两根之积≤0，从而得出p的取值范围．

解答 解：原方程变形为9x²-5x-p-5=0，
∵关于x的方程$\frac{{x}^{2}+2px+5}{2x-1}$=5x+p有且只有一个正实数根，
∴设方程的两个实根为α，β，
即△≥0且α•β≤0，
∴25+36（p+5）≥0且-p-5≤0，
解得p≥-5，
故答案为p≥-5．

点评 本题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．