Question

4．已知△ABC是⊙O的内接三角形．
（1）如图（1）若AC=2，∠ABC=30°，试求图中阴影部分的面积；
（2）如图（2），BD是⊙O的直径，AE⊥BC；
①求证：△AEC∽△BAD；
②若AB=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，试求线段AC和BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的判定得出△AOC是等边三角形，进而得出等边三角形的面积，再利用扇形AOC的面积公式，即可得出图中阴影部分的面积；
（2）根据BD是⊙O的直径，AE⊥BC，得到∠BAD=∠AEC=90°，由于∠D=∠C，根据相似三角形的判定即可得到结论；②根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BD}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于点N，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AO=CO，
∴△AOC是等边三角形，
∵AC=6，ON⊥AC，
∴AN=NC=1，
∴ON=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOC的面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
扇形AOC的面积为：$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
∴图中阴影部分的面积是：$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$；

（2）①∵BD是⊙O的直径，AE⊥BC，
∴∠BAD=∠AEC=90°，
∵∠D=∠C，
∴△AEC∽△BAD；

②∵∠ABC=45°，∠AEB=90°，
∴AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，
∵∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△AEC∽△BAD，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BD}$，
即$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{AC}{\sqrt{10}}$，
∴AC=$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定，扇形面积求法，等边三角形面积求法，根据已知得出等边三角形的高是解决（1）题关键．