Question

19．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC的中点，联结DE交AC于点G．设$\overrightarrow{AD}$=$\vec a$，$\overrightarrow{DC}$=$\vec b$，
（1）试用$\vec a$、$\vec b$表示向量$\overrightarrow{OC}$；
（2）试用$\vec a$、$\vec b$表示向量$\overrightarrow{DG}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}$=$\vec a$，$\overrightarrow{DC}$=$\vec b$，利用三角形法则，可求得$\overrightarrow{AC}$，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得答案；
（2）易得△ADG∽△CEG，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AG：CG=AD：CE=2：1，继而求得$\overrightarrow{AG}$，则可求得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}$=$\vec a$，$\overrightarrow{DC}$=$\vec b$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴AG：CG=AD：CE，
∵点E是边BC的中点，
∴AD：CE=2：1，
∴AG：CG=2：1，
∴AG：AC=2：3，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$．

点评 此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．