Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（III）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值．

Answer 1

解：（I）抛物线y=ax²+bx-3与y轴交于点C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax²+bx-3，
得，
∴y=x²-2x-3．

（II）①当∠P₁AC=90°时，可证△P₁AO∽△ACO，
∴Rt△P₁AO中，tan∠P₁AO=tan∠ACO=，
∴．
②同理：如图当∠P₂CA=90°时，P₂（9，0）
③当∠CP₃A=90°时，P₃（0，0），
综上，坐标轴上存在三个点P，
使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，
分别是P₁（0，），P₂（9，0），P₃（0，0）．

（III）由y=-x+1，得D（0，1）
由y=x²-2x-3得到顶点E（1，-4），
∴BC=3，CE=，BE=2，
∵BC²+CE²=BE²，
∴△BCE为直角三角形．
∴．
又∵Rt△DOB中tan∠DBO=．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45度．
分析：（1）易得点C坐标，根据OB=OC=3OA可得点A，B坐标．代入二次函数解析式即可．
（2）点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P，A，C三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．
（3）可求得E，D坐标，得到△BCE的形状，进而可把∠CBE转移为∠DBO，求解．
点评：通常采用待定系数法求二次函数解析式；
三角形为直角三角形，那么三个顶点都有可能为直角顶点．