抛物线y=ax2+bx+4过点A.B.与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式, (2)如图1.连接CB.以CB为边作▱CBPQ.若点P在直线BC上方的抛物线上.Q为坐标平面内的一点.且▱CBPQ的面积为30.求点P的坐标, (3)如图2.⊙O1过点A.B.C三点.AE为直径.点M为上的一动点.∠MBN为直角.边BN与ME的延长线交于N.求线段BN长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O₁过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

解答：

解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：．

∴抛物线得解析式为y=x²﹣6x+4．

（2）如图所示：

设点P的坐标为P（m，m²﹣6m+4）

∵平行四边形的面积为30，

∴S_△_CBP=15，即：S_△_CBP=S_梯形_CEDP﹣S_△_CEB﹣S_△_PBD．

∴m（5+m²﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m²﹣6m+5）=15．

化简得：m²﹣5m﹣6=0，

解得：m=6，或m=﹣1．

∵m＞0

∴点P的坐标为（6，4）．

（3）连接AB、EB．

∵AE是圆的直径，

∴∠ABE=90°．

∴∠ABE=∠MBN．

又∵∠EAB=∠EMB，

∴△EAB∽△NMB．

∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），

∴点O₁的横坐标为3，

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，

∴点C的坐标为（0，4）．

设点O₁的坐标为（3，m），

∵O₁C=O₁A，

∴，

解得：m=2，

∴点O₁的坐标为（3，2），

∴O₁A=，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE===6，

∴点E的坐标为（5，5）．

∴AB=4，BE=6．

∵△EAB∽△NMB，

∴．

∴NB=．

∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．

∴MB=AE=2，

∴NB==3．

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