【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5;(2)m的值为7或9;(3)Q点的坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).
【解析】
试题分析:(1)由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)由题意可求得C点坐标,设平移后的点C的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可求得C′点的坐标,则可求得平移的单位,可求得m的值;
(3)由(2)可求得E点坐标,连接BE交对称轴于点M,过E作EF⊥x轴于点F,当BE为平行四边形的边时,过Q作对称轴的垂线,垂足为N,则可证得△PQN≌△EFB,可求得QN,即可求得Q到对称轴的距离,则可求得Q点的横坐标,代入抛物线解析式可求得Q点坐标;当BE为对角线时,由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标,设Q(x,y),由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标,代入抛物线解析式可求得Q点的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5;
(2)∵AD=5,且OA=1,
∴OD=6,且CD=8,
∴C(﹣6,8),
设平移后的点C的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5,解得x=1或x=3,
∴C′点的坐标为(1,8)或(3,8),
∵C(﹣6,8),
∴当点C落在抛物线上时,向右平移了7或9个单位,
∴m的值为7或9;
(3)∵y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴抛物线对称轴为x=2,
∴可设P(2,t),
由(2)可知E点坐标为(1,8),
①当BE为平行四边形的边时,连接BE交对称轴于点M,过E作EF⊥x轴于点F,当BE为平行四边形的边时,过Q作对称轴的垂线,垂足为N,如图,
则∠BEF=∠BMP=∠QPN,
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB(AAS),
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4,
设Q(x,y),则QN=|x﹣2|,
∴|x﹣2|=4,解得x=﹣2或x=6,
当x=﹣2或x=6时,代入抛物线解析式可求得y=﹣7,
∴Q点坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7);
②当BE为对角线时,
∵B(5,0),E(1,8),
∴线段BE的中点坐标为(3,4),则线段PQ的中点坐标为(3,4),
设Q(x,y),且P(2,t),
∴x+2=3×2,解得x=4,把x=4代入抛物线解析式可求得y=5,
∴Q(4,5);
综上可知Q点的坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).
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【题目】如图,△ABC中,AC=BC=10 cm,AB=12 cm,点D是AB的中点,连结CD,动点P从点A出发,沿A→C→B的路径运动,到达点B时运动停止,速度为每秒2 cm,设运动时间为秒.
(1)求CD的长;
(2)当为何值时,△ADP是直角三角形?
(3)直接写出:当为何值时,△ADP是等腰三角形?
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤ ,其中正确结论有( )个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】已知:直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点E为平面内一点.
(1)如图1,∠BME,∠E,∠END的数量关系为 (直接写出答案);
(2)如图2,∠BME=m°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,EQ∥NP,求∠FEQ的度数(用用含m的式子表示)
(3)如图3,点G为CD上一点,∠BMN=n·∠EMN,∠GEK=n·∠GEM,EH∥MN交AB于点H,探究∠GEK,∠BMN,∠GEH之间的数量关系(用含n的式子表示)
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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况,学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数,并将调查所得的数据整理如下:
参加社区活动次数的频数、频率分布表
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)表中a= ,b= ;
(2)请把频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的数据);
(3)若该校共有1200名学生,请估计该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有多少人?
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【题目】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋,AB+BC=10m,拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处,小狗在不能进入小屋内的条件下活动,其可以活动的区域面积为S(m2).
(1)如图1,若BC=4m,则S=_______m2.
(2)如图2,现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域,使之变成落地为五边形ABCED的小屋,其他条件不变,则在BC的变化过程中,当S取得最小值时,边BC的长为________m.
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