Question

19．已知方程x²-21x+21a-1=0有正整数根，求正整数a的值．

Answer 1

分析 由方程有实数根结合根的判别式可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出a的取值范围，结合a为正整数即可得出a的值，再根据方程有正整数根，即可得出445-84a为正整数的平方，依次代入a的值即可得出结论．

解答 解：∵方程x²-21x+21a-1=0有实数根，
∴△=（-21）²-4×1×（21a-1）=445-84a≥0，
解得：a≤$\frac{445}{84}$．
由求根公式可知：x=$\frac{21±\sqrt{445-84a}}{2}$．
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，4，5，
∵方程x²-21x+21a-1=0有正整数根，
∴445-84a为正整数的平方．
当a=1时，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{361}$=19，
此时x=20或x=1；
当a=2时，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{277}$（舍去）；
当a=3时，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{193}$（舍去）；
当a=4时，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{109}$（舍去）；
当a=5时，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{25}$=5，
此时x=13或x=8．
综上可知：正整数a的值为1或5．

点评 本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式以及a为正整数找出a的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．