在如图所示的平面直角坐标系中,点C在y轴的正半轴上,四边形OABC为平行四边形,OA=2,∠AOC=60°,以OA为直径的⊙P经过点C,交BC于点D,DE⊥AB,交AB于E｡ (1)求点A和B的坐标; (2)求证:DE是⊙P的切线; (3) 小明在解答本题时,发现连结DA并延长,交x轴于点N,则△AON是等腰三角形.由此,他断定:“x轴上一定存在除点N以外的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在如图所示的平面直角坐标系中,点C在y轴的正半轴上,四边形OABC为平行四边形,OA=2,∠AOC=60°,以OA为直径的⊙P经过点C,交BC于点D,DE⊥AB,交AB于E｡

(1)求点A和B的坐标;

(2)求证:DE是⊙P的切线;

(3) 小明在解答本题时,发现连结DA并延长,交x轴于点N,则△AON是等腰三角形.由此,他断定:“x轴上一定存在除点N以外的点Q,使△AOQ也是等腰三角形,且点Q一定在⊙P外”.你同意他的看法吗?请充分说明理由.

(1)解:连结AC,∵ OA为⊙P的直径,∴ ∠ACO=90°,

又∵ OA=2,∠AOC=60°,∴ OC=1,AC=,

∴ A点坐标为(,1),

∵ OABC为平行四边形,∴ AB=OC,∴ B点坐标为(,2)｡

(2)证明:连结P D．AD,

∵四边形OABC是平行四边形,∴CD∥OA,∴弧OC=弧AD,∴OC=AD,

∴四边形OADC为等腰梯形,

∴∠DAO=∠AOC=60°,∵PA=PD,

∴△PAD为等边三角形,∴∠PDA=60°,

∵∠BAO=180°-60°=120°,∠DAO=60°,

∴∠BAD=60°, ∴∠BAD=∠PDA,∴PD∥AB,

∵DE⊥AB,∴DE⊥PD, ∴DE是⊙P的切线｡

(3)解:不同意｡理由如下::

①当OA=OQ时,

以点O为圆心,OA为半径画弧交x轴于Q₁和Q₃两点,

得点Q₁(-2,0),Q₃(2,0)

②当OQ=AQ时,作OA的中垂线,交x轴于点Q₂,

OQ₂=<,点Q₂(,0)｡

因此,在x轴上,除了N点外,既存在⊙P内的点Q₂,又存在⊙P外的点Q₁、Q₃,它们分别使△AOQ为等腰三角形｡

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（2）点A₁的坐标为

（-1，3）

，在△A₁B₁C₁内有一点M（a，b），则点M在△A₂B₂C₂中的对应点N的坐标为

（2a，2b）或（-2a，-2b）

．（横纵坐标可用含a、b的代数式表示）

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①根据图2写出一个等式

（a+2b）（2a+b）=2a²+5ab+2b²

；
②已知等式：（x+p）（x+q）=x²+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．