Question

AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点．证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和．

Answer 1

解：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交．从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′．
∵AA'⊥PG，DD'⊥PG，
∴AA′∥D′，
∴△AA′G∽△DD′G，
∵AG=2GD，
∴AA′=2DD′，
同理，CC′=2FF′，
∵在梯形AA′C′C中，2EE′=AA′+CC′，
∴EE′=DD′+FF′，
∴S_△PGE=S_△PGD+S_△PGF，
两边各扩大3倍，有S_△PBE=S_△PAD+S_△PCF．
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交．从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′．易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，则EE′=DD′+FF′．有S_△PGE=S_△PGD+S_△PGF．两边各扩大3倍，即可得证．
点评：此题综合考查了重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质、梯形的中位线等知识点，难度较大．