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【题目】已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.

(1)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;

(2)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值.

【答案】(1)若c=3,当yx增大而增大时,x≤﹣1;若c=﹣3,当yx增大而增大时,x≥1;(2)n=时,2n2﹣5n的最小值为

【解析】

(1)分别利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,-3),即c=-3,得出A,B点坐标,进而求出函数解析式,进而得出答案;

(2)利用①若c=3,则y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,得出y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=-(x+1+n)2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,②若c=-3,则y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x-1+n)2-4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,进而利用配方法求出函数最值.

(1)∵x1x2<0,

x1,x2异号,

①若C(0,3),即c=3,

C(0,3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=3,即t=3,

y2=﹣3x+3,

A(x1,0)代入y2=﹣3x+3,则﹣3x1+3=0,

x1=1,

A(1,0),

x1,x2异号,x1=1>0,x2<0,

|x1|+|x2|=4,

1﹣x2=4,

解得:x2=﹣3,则B(﹣3,0),

代入y1=ax2+bx+3得,

解得:

y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

则当x≤﹣1时,yx增大而增大.

②若C(0,﹣3),即c=﹣3,

C(0,﹣3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=﹣3,即t=﹣3,

y2=﹣3x﹣3,

A(x1,0),代入y2=﹣3x﹣3,

则﹣3x1﹣3=0,

x1=﹣1,

A(﹣1,0),

x1,x2异号,x1=﹣1<0,x2>0

|x1|+|x2|=4,

1+x2=4,

解得:x2=3,则B(3,0),

代入y1=ax2+bx+3得,

解得:

y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

则当x≥1时,yx增大而增大,

综上所述,若c=3,当yx增大而增大时,x≤﹣1;

c=﹣3,当yx增大而增大时,x≥1;

(2)①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,

y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=﹣(x+1+n)2+4,

则当x≤﹣1﹣n时,yx增大而增大,

y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x+3﹣n,

要使平移后直线与P有公共点,则当x=﹣1﹣n,y3≥y4

即﹣(﹣1﹣n+1+n)2+4≥﹣3(﹣1﹣n)+3﹣n,

解得:n≤﹣1,

n>0,n≤﹣1不符合条件,应舍去;

②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,

y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x﹣1+n)2﹣4,

则当x≥1﹣n时,yx增大而增大,

y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x﹣3﹣n,

要使平移后直线与P有公共点,则当x=1﹣n,y3≤y4

即(1﹣n﹣1+n)2﹣4≤﹣3(1﹣n)﹣3﹣n,

解得:n≥1,

综上所述:n≥1,

2n2﹣5n=2(n﹣2

∴当n=时,2n2﹣5n的最小值为:﹣

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