【题目】已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.
(1)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;
(2)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值.
【答案】(1)若c=3,当y随x增大而增大时,x≤﹣1;若c=﹣3,当y随x增大而增大时,x≥1;(2)当n=时,2n2﹣5n的最小值为﹣.
【解析】
(1)分别利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,-3),即c=-3,得出A,B点坐标,进而求出函数解析式,进而得出答案;
(2)利用①若c=3,则y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,得出y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=-(x+1+n)2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,②若c=-3,则y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x-1+n)2-4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,进而利用配方法求出函数最值.
(1)∵x1x2<0,
∴x1,x2异号,
①若C(0,3),即c=3,
把C(0,3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=3,即t=3,
∴y2=﹣3x+3,
把A(x1,0)代入y2=﹣3x+3,则﹣3x1+3=0,
即x1=1,
∴A(1,0),
∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0,
∵|x1|+|x2|=4,
∴1﹣x2=4,
解得:x2=﹣3,则B(﹣3,0),
代入y1=ax2+bx+3得,,
解得:,
∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
则当x≤﹣1时,y随x增大而增大.
②若C(0,﹣3),即c=﹣3,
把C(0,﹣3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=﹣3,即t=﹣3,
∴y2=﹣3x﹣3,
把A(x1,0),代入y2=﹣3x﹣3,
则﹣3x1﹣3=0,
即x1=﹣1,
∴A(﹣1,0),
∵x1,x2异号,x1=﹣1<0,∴x2>0
∵|x1|+|x2|=4,
∴1+x2=4,
解得:x2=3,则B(3,0),
代入y1=ax2+bx+3得,,
解得:,
∴y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
则当x≥1时,y随x增大而增大,
综上所述,若c=3,当y随x增大而增大时,x≤﹣1;
若c=﹣3,当y随x增大而增大时,x≥1;
(2)①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,
y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=﹣(x+1+n)2+4,
则当x≤﹣1﹣n时,y随x增大而增大,
y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x+3﹣n,
要使平移后直线与P有公共点,则当x=﹣1﹣n,y3≥y4,
即﹣(﹣1﹣n+1+n)2+4≥﹣3(﹣1﹣n)+3﹣n,
解得:n≤﹣1,
∵n>0,∴n≤﹣1不符合条件,应舍去;
②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,
y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x﹣1+n)2﹣4,
则当x≥1﹣n时,y随x增大而增大,
y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x﹣3﹣n,
要使平移后直线与P有公共点,则当x=1﹣n,y3≤y4,
即(1﹣n﹣1+n)2﹣4≤﹣3(1﹣n)﹣3﹣n,
解得:n≥1,
综上所述:n≥1,
2n2﹣5n=2(n﹣)2﹣,
∴当n=时,2n2﹣5n的最小值为:﹣.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a﹣b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 .(填正确结论的序号)
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【题目】如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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【题目】已知抛物线y=ax2+(2﹣a)x﹣2(a>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.给出下列结论:
①在a>0的条件下,无论a取何值,点A是一个定点;
②在a>0的条件下,无论a取何值,抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧;
③y的最小值不大于﹣2;
④若AB=AC,则a=.
其中正确的结论有( )个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图乙,△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线 BD,CE的交点.
(1)如图甲,将△ADE 绕点A 旋转,当 C、D、E 在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是哪几个.(回答直接写序号)
①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2)
(2)若 AB=4,AD=2,把△ADE 绕点 A 旋转,
①当∠CAE=90°时,求 PB 的长;
②直接写出旋转过程中线段 PB 长的最大值.
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【题目】如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上如果,的面积是6,那么这个正方形的边长是
A. B. C. D.
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【题目】如图,某市近郊有一块长为60米,宽为50米的矩形荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,其中阴影部分为通道,通道的宽度均相等,中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地.设通道的宽度为x米.
(1)a= (用含x的代数式表示);
(2)若塑胶运动场地总占地面积为 2430平方米,则通道的宽度为多少米?
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【题目】如图所示,四边形是矩形,,。动点P、Q分别同时从A、C出发,点P以3cm/s的速度向D移动,直到D为止,Q以2cm/s的速度向B移动.
(1)P、Q两点从出发开始几秒后,四边形ABQP的面积是矩形面积的?
(2)P、Q从开始出发几秒后,?
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