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【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+2x+3x轴交于AB两点,与y轴交于点C,顶点为D,连接BC

1)点G是直线BC上方抛物线上一动点(不与BC重合),过点Gy轴的平行线交直线BC于点E,作GFBC于点F,点MN是线段BC上两个动点,且MNEF,连接DMGN.当△GEF的周长最大时,求DM+MN+NG的最小值;

2)如图2,连接BD,点P是线段BD的中点,点Q是线段BC上一动点,连接DQ,将△DPQ沿PQ翻折,且线段DP的中点恰好落在线段BQ上,将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△AOC′,点T为坐标平面内一点,当以点QA′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时,求点T的坐标.

【答案】1DM+MN+NG最小值为;(2)点T的坐标为()或()或(

【解析】

1)先求出点BCD的坐标,可求直线BC解析式且得到OCB45°.由GEy轴和GFBC可得GEF是等腰直角三角形,则GE最大时其周长最大.设点G坐标为(a,﹣a2+2a+3),则点Ea,﹣a+3),可列得GEa的函数关系式,配方可求出其最大值,得到此时的G坐标和EF的长,即得到MN长.求DM+MN+NG最小值转化为求DM+NG最小值.先作D关于直线BC的对称点D1,再通过平移MD1D2,构造将军饮马的基本图形求解.

2)由翻折得DD'PQPDPD',再由PBD中点证得BD'D90°,得PQBD',又D'P中点HBQ上,可证PQH≌△D'BH,所以有D'QBP即四边形DQD'P为菱形,得DQDP.设Q点坐标为(q,﹣q+3)即可列方程求得.再根据题意把点A'C'求出.以点QACT为顶点的四边形是平行四边形,要进行分类讨论,结合图形,利用平行四边形对边平行的性质,用平移坐标的方法即可求得点T

1y=﹣x2+2x+3=﹣(x3)(x+1)=﹣(x12+4

抛物线与x轴交于点A(﹣10)、点B30),与y轴交于点C03),顶点D14),

直线CB解析式:y=﹣x+3BCO45°

GEy轴,GFBC

∴∠GEFBCO45°GFE90°

∴△GEF是等腰直角三角形,

CGEFEF+FG+GE=(+1GE

设点Ga,﹣a2+2a+3),则点Ea,﹣a+3),其中0a3

GE=﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)=﹣a2+3a

a时,GE有最大值为

∴△GEF的周长最大时,

E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位

如图1,作点D关于直线BC的对称点D1(﹣12),过NND2D1MND2D1M

DMD1MND2 ,

DM+MN+NGMN+ND2+NG

D2NG在同一直线上时,ND2+NGD2G为最小值

DM+MN+NG最小值为

2)连接DD'D'B,设D'PBQ交点为H(如图2

∵△△DPQ沿PQ翻折得D'PQ

DD'PQPDPD'DQD'QDQPD'QP

PBD中点

PBPDPD'P22

∴△BDD'是直角三角形,BD'D90°

PQBD'

∴∠PQHD'BH

HD'P中点

PHD'H

PQHD'BH

∴△PQH≌△D'BHAAS

PQBD'

四边形BPQD'是平行四边形

D'QBP

∴∠DPQD'QP

∴∠DQPDPQ

DQDP

DQ2DP2=(212+2425

Qq,﹣q+3)(0q3

q12+(﹣q+3425

解得:(舍去)

Q坐标为

∵△AOC绕点O逆时针旋转60°得到AOC

A'C'横坐标差为,纵坐标差为

A'Q横坐标差为,纵坐标差为

当有平行四边形A'C'TQ时(如图3),点T横坐标为,纵坐标为

当有平行四边形A'C'QT时(如图4),点T横坐标为,纵坐标为

当有平行四边形A'TC'Q时(如图5),点T横坐标为 ,纵坐标为

综上所述,点T的坐标为()或()或(

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销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3

5

18000

第二周

4

10

31000

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2)如果该校有360名初三学生,利用样本估计选择感恩观点的初三学生约有   人;

3)如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查,求恰好选到和谐感恩观点的概率(用树状图或列表法分析解答).

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