【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为D,连接BC
(1)点G是直线BC上方抛物线上一动点(不与B、C重合),过点G作y轴的平行线交直线BC于点E,作GF⊥BC于点F,点M、N是线段BC上两个动点,且MN=EF,连接DM、GN.当△GEF的周长最大时,求DM+MN+NG的最小值;
(2)如图2,连接BD,点P是线段BD的中点,点Q是线段BC上一动点,连接DQ,将△DPQ沿PQ翻折,且线段D′P的中点恰好落在线段BQ上,将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′,点T为坐标平面内一点,当以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形时,求点T的坐标.
【答案】(1)DM+MN+NG最小值为;(2)点T的坐标为(,)或(,)或(,)
【解析】
(1)先求出点B、C、D的坐标,可求直线BC解析式且得到∠OCB=45°.由GE∥y轴和GF⊥BC可得△GEF是等腰直角三角形,则GE最大时其周长最大.设点G坐标为(a,﹣a2+2a+3),则点E(a,﹣a+3),可列得GE与a的函数关系式,配方可求出其最大值,得到此时的G坐标和EF的长,即得到MN长.求DM+MN+NG最小值转化为求DM+NG最小值.先作D关于直线BC的对称点D1,再通过平移MD1得D2,构造“将军饮马”的基本图形求解.
(2)由翻折得DD'⊥PQ,PD=PD',再由P为BD中点证得∠BD'D=90°,得PQ∥BD',又D'P中点H在BQ上,可证△PQH≌△D'BH,所以有D'Q∥BP即四边形DQD'P为菱形,得DQ=DP.设Q点坐标为(q,﹣q+3)即可列方程求得.再根据题意把点A'、C'求出.以点Q、A′、C′、T为顶点的四边形是平行四边形,要进行分类讨论,结合图形,利用平行四边形对边平行的性质,用平移坐标的方法即可求得点T.
(1)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣(x﹣1)2+4
∴抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)、点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点D(1,4),
∴直线CB解析式:y=﹣x+3,∠BCO=45°
∵GE∥y轴,GF⊥BC
∴∠GEF=∠BCO=45°,∠GFE=90°
∴△GEF是等腰直角三角形,,
∴C△GEF=EF+FG+GE=(+1)GE
设点G(a,﹣a2+2a+3),则点E(a,﹣a+3),其中0<a<3
∴GE=﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)=﹣a2+3a
∴a时,GE有最大值为,
∴△GEF的周长最大时,
∴ E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位
如图1,作点D关于直线BC的对称点D1(﹣1,2),过N作ND2∥D1M且ND2=D1M
∴DM=D1M=ND2, ,即
∴DM+MN+NG=MN+ND2+NG
∴当D2、N、G在同一直线上时,ND2+NG=D2G为最小值
∵
∴DM+MN+NG最小值为
(2)连接DD'、D'B,设D'P与BQ交点为H(如图2)
∵△△DPQ沿PQ翻折得△D'PQ
∴DD'⊥PQ,PD=PD',DQ=D'Q,∠DQP=∠D'QP
∵P为BD中点
∴PB=PD=PD',P(2,2)
∴△BDD'是直角三角形,∠BD'D=90°
∴PQ∥BD'
∴∠PQH=∠D'BH
∵H为D'P中点
∴PH=D'H
在△PQH与△D'BH中
∴△PQH≌△D'BH(AAS)
∴PQ=BD'
∴四边形BPQD'是平行四边形
∴D'Q∥BP
∴∠DPQ=∠D'QP
∴∠DQP=∠DPQ
∴DQ=DP
∴DQ2=DP2=(2﹣1)2+(2﹣4)2=5
设Q(q,﹣q+3)(0<q<3)
∴(q﹣1)2+(﹣q+3﹣4)2=5
解得:(舍去)
∴点Q坐标为
∵△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A′OC′
∴
∴A'、C'横坐标差为,纵坐标差为
A'、Q横坐标差为,纵坐标差为
当有平行四边形A'C'TQ时(如图3),点T横坐标为,纵坐标为
当有平行四边形A'C'QT时(如图4),点T横坐标为,纵坐标为
当有平行四边形A'TC'Q时(如图5),点T横坐标为 ,纵坐标为
综上所述,点T的坐标为(,)或(,)或(,)
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】材料一:把一个自然数的个位数字截去,再用余下的数减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大不易看出是否7的倍数,可重复上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断392是否7的倍数的过程如下:,,所以,392是7的倍数;又例如判断8638是否7的倍数的过程如下:,,,所以,8638是7的倍数.
材料二:若一个四位自然数n满足千位与个位相同,百位与十位相同,我们称这个数为“对称数”.将“对称数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“对称数”,记,例如.
(1)请用材料一的方法判断6909与367能不能被7整除;
(2)若m、p是“对称数”,其中,(,且a,b,c均为整数),若m能被7整除,且,求p.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出以下结论,①ab<0,②b2﹣4ac>0,③4b+c<0,④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2,⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0,其中正确的结论是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某电器超市销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的空调,如表是近两周的销售情况:
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
A种型号 | B种型号 | ||
第一周 | 3台 | 5台 | 18000元 |
第二周 | 4台 | 10台 | 31000元 |
(进价、售价均保持不变,利润=销售总收入进货成本)
(1)求A、B两种型号的空调的销售单价;
(2)若超市准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的空调共30台,求A种型号的空调最多能采购多少台?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校开展了以“责任、感恩”为主题的班队活动,活动结束后,初三(2)班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班学生中进行了调查(要求每位同学只选自己最认可的一项观点),并制成了如下扇形统计图,
(1)该班有 人,学生选择“和谐”观点的有 人,在扇形统计图中,“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度;
(2)如果该校有360名初三学生,利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人;
(3)如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查,求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率(用树状图或列表法分析解答).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CE⊥AB于E,BD交CE于点F,CF=BF.
(1)求证:C是的中点;
(2)若CD=4,AC=8,则⊙O的半径为 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校对A《唐诗》、B《宋词》、C《蒙山童韵》、D其它,这四类著作开展“最受欢迎的传统文化著作”调查,随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四类著作中的一种)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:
(1)求一共调查了多少名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)该校语文老师想从这四类著作中随机选取两类作为学生寒假必读书籍,请用树状图或列表的方法求恰好选中《宋词》和《蒙山童韵》的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC相切于点D,与AB交于点E,连接ED并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证:AE=AF;
(2)若DE=3,sin∠BDE=,求AC的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;
(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com