【题目】如图,△OAB中,OA=OB = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心, 6为半径的优弧MN分别交OA,OB于点M,N.
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证:AP=BP′;
(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;
(3)设点Q在优弧MN上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)10°或170°.
【解析】
试题分析:(1)首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′,进而得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案;
(2)利用切线的性质得出∠ATO=90°,再利用勾股定理求出AT的长,进而得出TH的长即可得出答案;
(3)当OQ⊥OA时,△AOQ面积最大,且左右两半弧上各存在一点分别求出即可.
试题解析:(1)如图1,
∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,
∴∠AOP=∠BOP′,
∵在△AOP和△BOP′中
∴△AOP≌△BOP′(SAS),
∴AP=BP′;
(2)如图1,连接OT,过点T作TH⊥OA于点H,
∵AT与弧MN相切,
∴∠ATO=90°,
∴AT===8,
∵×OA×TH=×AT×OT,
即×10×TH=×8×6,
解得:TH=,即点T到OA的距离为;
(3)如图2,当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大;
理由:∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°,
当Q点在优弧MN右侧上,
∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°,
综上所述:当∠BOQ的度数为10°或170°时,△AOQ的面积最大.
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【题目】在直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C连接AC,BC.
(1)求∠ACO的正弦值.
(2)如图1,D为第一象限内抛物线上一点,记点D横坐标为m,作DE∥AC交BC于点E,DH∥y轴交于BC于点H,请用含m的代数式表示线段DE的长,并求出当CH:BH=2:1时线段DE的长.
(3)如图2,P为x轴上一动点(P不与点A、B重合),作PM∥BC交直线AC于点M,连接CP,是否存在点P使S△CPM=2?若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800℃,然后停止煅烧进行锻造操作,经过8min时,材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;
(2)根据工艺要求,当材料温度低于480℃时,须停止操作.那么锻造的操作时间有多长?
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【题目】点P在第二象限,若该点到x轴的距离为3,到y轴的距离为1,则点P的坐标是( )
A. (﹣1,3) B. (﹣3,1) C. (3,﹣1) D. (1,3)
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