Question

【题目】在直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C连接AC，BC．

（1）求∠ACO的正弦值．

（2）如图1，D为第一象限内抛物线上一点，记点D横坐标为m，作DE∥AC交BC于点E，DH∥y轴交于BC于点H，请用含m的代数式表示线段DE的长，并求出当CH：BH=2：1时线段DE的长．

（3）如图2，P为x轴上一动点（P不与点A、B重合），作PM∥BC交直线AC于点M，连接CP，是否存在点P使S△CPM=2？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．（3）P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．

【解析】

试题分析：（1）利用抛物线解析式求出点A、C坐标，求出线段OA、AC长度，即可求出∠ACO的正弦值；

（2）首先设出点D坐标，写出点H坐标，利用相似三角形比例关系可求出线段DE的长，根据CH：BH=2：1，求出线段DE的长；

（3）设出点P坐标，写出直线PM解析式，表示出点M、及与y轴交点坐标，利用三角形面积求出点P坐标．

解（1）令x=0，y=4，

∴C（0，4），OC=4，

令y=0，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），OA=1，

∴AC==，

Sin∠ACO===．

（2）如图1，

∵DE∥AC，

∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5，

∵DH∥y轴，

∴∠2=∠4，

∴∠1=∠5，

∴OA：OC=EM：DM，

过点E作EM⊥DH，垂足为M，

设点D（m，﹣m2+m+4），

直线BC：y=﹣x+4，

∴H（m，﹣m+4），

∴DH=﹣m2+4m，

设EM=x，则DM=4x，

∠MEH=∠B，

∴HM=x，DH=x+4x=x，

∴x=，

∴DE=x==（﹣m2+4m）=﹣m2+m，

当CH：BH=2：1时，

延长DH至点K，则OK：KB=2：1，

OK=2，

∴m=2．

∴DE=﹣+=．

（3）P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．

直线BC解析式为：y=﹣x+4，

直线AC解析式为：y=4x+4，

∵作PM∥BC交直线AC于点M，

∴设PM直线解析式为y=﹣x+b，

∴P（，0）

联立直线AC，求得M（，），

当点P在线段AB上时，如图：

∴S△CPM=×CN×（﹣）=2

∴×（4﹣b）×（﹣）=2

解得：b=，

∴P（1，0）；

当点P在线段AB上，

连接CP，是否存在点P使S△CPM=2

当点P在线段AB延长线上时，如图：

同理：P（，0），M（，），

做CQ⊥y轴，Q（，4）

∴S△CPM=×CQ×=2

解得：b=，

∴P（2+1，0）．

当点P在线段BA延长线上时，如图：

同理：P（，0），M（，），

∴S△CPM=×PA×（4﹣）=2

解得：b=，

∴P（1﹣2，0）．

综上所述：P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．