Question

已知抛物线y=-x²+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，y=-x²+3x+4=-（x-4）（x+1），
故可得：A（0，4），B（4，0），C（-1，0），

（2）
过点M作x轴的垂线交l于E，交另一条直线于F，
①1）若△PQA∽△AOC，则=，即=，解得：x=7；
2）若△AQP∽△AOC，则=，即=，
解得：x=
综合1）2）可得点P均在抛物线对称轴的右侧，
∴点P的坐标为，
②设点Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），则PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有．
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴．
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
分析：（1）根据抛物线的解析式即可得出点A、B、C的坐标；
（2）①分两种情况讨论，①△PQA∽△AOC，②△AQP∽△AOC，继而根据相似三角形的对应边成比例可得出点P的坐标；
②设点Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），从而表示出PQ，结合△AEM∽△MFP，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，继而解出后检验即可得出答案．
点评：此题考查了二次函数的综合题目，难点在第二问，①需要注意讨论，不要漏解，②需要注意先设出点P及点Q的坐标，然后利用相似三角形及勾股定理的知识进行求解，难度较大．