如图.直线l:y=2x+2与坐标轴分别交于A.B两点.直线m经过点C(1.0)且与x轴垂直．(1)求点A.B的坐标,(2)设点P是直线m上的一个动点.求PA+PB的最小值及点P的坐标,(3)在直线m上存在点M.使△MAB为等腰三角形.直接写出所有符合条件的点M的坐标,(4)在直线m上存在点N.使△BAN是以∠BAN为直角的直角三角形.画出示意图并求出符合条件的点N的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．如图，直线l：y=2x+2与坐标轴分别交于A、B两点，直线m经过点C（1，0）且与x轴垂直．

（1）求点A、B的坐标；
（2）设点P是直线m上的一个动点，求PA+PB的最小值及点P的坐标；
（3）在直线m上存在点M，使△MAB为等腰三角形，直接写出所有符合条件的点M的坐标；
（4）在直线m上存在点N，使△BAN是以∠BAN为直角的直角三角形，画出示意图并求出符合条件的点N的坐标．

分析（1）分别令x=0和y=0，可求得A、B的坐标；
（2）在x轴上找到A关于x=1的对称点为A′，连接A′B交m于点P，则PA+PB=PA′+PB最小，根据勾股定理可求得A′B，结合条件可求得M的坐标；
（3）设出M为（1，y），分MA=MB、MB=AB、MA=AB三种情况得到出关于y的方程，可求出M的坐标；
（4）画出图形，利用互相垂直的直线之间的关系，利用待定系数法求出直线AN的解析式，再求出x=1时的纵坐标，即可求出N点的坐标．

解答解：（1）∵y=2x+2，
∴令y=0可得x=-1，令x=0可得y=2，
∴A点为（-1，0），B点为（0，2）；
（2）∵直线m过点C（1，0），
∴直线m的方程为x=1，
∴A点关于直线x=1的对称点为A′（3，0），
如图1，连接A′B交m于点P，则PA+PB=PA′+PB=A′B最小，

在Rt△OBA′中，OB=2，OA′=3，由勾股定理可求得A′B=$\sqrt{13}$，
∵直线m与x轴垂直，
∴直线m∥y轴，
∴△A′PC∽△A′BO，
∴$\frac{PC}{BO}$=$\frac{A′C}{A′O}$，即$\frac{PC}{2}$=$\frac{2}{3}$，
解得PC=$\frac{4}{3}$．
∴P点坐标为（1，$\frac{4}{3}$），
∴当P点为（1，$\frac{4}{3}$）时，PA+PB，的最小值为$\sqrt{13}$；
（3）设M点坐标为（1，y），
则由勾股定理可知AB²=5，AM²=（1+1）²+y²=4+y²，BM=1²+（y-2）²=1+（y-2）²，
∵△MAB为等腰三角形，
∴分MA=MB、MB=AB、MA=AB三种情况，
当MA=MB时，即AM²=BM²，所以4+y²=1+（y-2）²，解得y=$\frac{1}{4}$，此时M点坐标为（1，$\frac{1}{4}$），
当MB=AB时，即MB²=AB²，所以5=1+（y-2）²，解得y=0或y=4（舍去），此时M为（1，0），
当MA=AB时，即MA²=AB²，所以5=4+y²，解得y=-1或y=1，此时M为（1，-1）或（1，1），
综上可知M点的坐标为（1，$\frac{1}{4}$）或（1，0）或（1，-1）或（1，1）；
（4）N点的位置如图2所示，

∵△BAN是以∠BAN为直角的直角三角形，
∴设直线AN的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，则$\frac{1}{2}$+b=0，
解得b=-$\frac{1}{2}$．
故直线AN的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
当x=1时，y=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=-1．
故N点坐标为（1，-1）．

点评本题主要考查了直线与坐标轴的交点和轴对称的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理的应用．在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中设出M点的坐标分别表示出AB、MA、MB的长度，分三种情况讨论是关键，在（4）中注意利用互相垂直的直线之间的关系，待定系数法来求N点坐标．知识点较多，难度较大，注意分类思想和方程思想的应用．

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