Question

试求出所有整数n，使得代数式2n²+n-29的值是某两个连续自然数的平方和．

Answer 1

解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n²+n-29=x²+（x+1）²，
化简为2x²+2x+30-2n²-n=0 ①
∴x==②
因为x是自然数，所以4n²+2n-59必为某个整数的平方（完全平方数），
因此设4n²+2n-59=k²③
∴n==④
因为n是整数，所以4k²+237必为某个整数的平方（完全平方数），
设4k²+237=a²⑤
则有a²-4k²=237，即（a+2k）（a-2k）=237，所以有
或，
解之得或
由⑤式得4k²+237=119²或41²，
代入④式得n₁=10，n₂=-30，
∴符合条件的整数n是10或-30．
分析：先设两个连续自然数是x、x+1，然后根据题意列出方程，然后解以x为未知数的一元二次方程，然后利用多次方程有整数根的条件来解．
点评：本题主要考查了利用完全平方式的应用．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．