Question

13．如图，已知二次函数y=ax²+2x+3的图象与x轴交于点A、点B（点B在X轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，又tan∠OBC=1，过点A任作直线l交线段BD于点P，若点B、D到直线l的距离分别记为d₁、d₂，则d₁+d₂的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 易得AB的长度和点D到x轴的距离，由面积法得到AB•y_D=AP•d₁+AP•d₂，由此可得d₁+d₂=$\frac{AB•{y}_{D}}{AP}$，过A作AM⊥BD于M，利用△ACD的面积可求得AM的长，在Rt△APM中，AP≥AM，故d₁+d₂≤$\frac{AB•{y}_{D}}{AM}$，而AB、y_D、AM的长都已求得，由此可确定d₁+d₂的最大值．

解答 解：如图，过点A作AM⊥BD于M，过点B作BF⊥AP于F．过点D作DE⊥AP于E，则BF=d₁，DE=d₂．
∵二次函数y=ax²+2x+3的图象与y轴交于点C，
∴令x=0，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=1，
∴OB=OC=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
将其代入二次函数y=ax²+2x+3中，
可得：9a+6+3=0，
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴二次函数y=ax²+2x+3的顶点D的坐标为（1，4），
∴AB=2（3-1）=4，BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴$\frac{1}{2}$AB•y_D=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$AP•d₁+AP•d₂，即$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×AM=$\frac{1}{2}$AP（d₁+d₂）．
∴AM=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，d₁+d₂=$\frac{16}{AP}$．
∵AP≥AM，
∴d₁+d₂=$\frac{16}{AP}$≤$\frac{16}{AM}$，即d₁+d₂≤$\frac{16}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴d₁+d₂的最大值为2$\sqrt{5}$．
故答案是：2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、三角形面积的计算方法以及不等式的应用等重要知识，涉及知识面广，难度较大．