Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则∠BCD=120°，cos∠MCN=$\frac{13}{14}$．

Answer 1

分析 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得cos∠MCN．

解答 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，MC=NC，
∴∠BAD=60°，BC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠BCD=120°，
∴AC²=BC²+AB²，即（2BC）²=BC²+AB²，
3BC²=AB²，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BMC中，CM=$\sqrt{{BM}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+（2\sqrt{3}）}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2$\sqrt{7}$-x，
∴MN²-NE²=MC²-EC²，即4-x²=（2$\sqrt{7}$）²-（2$\sqrt{7}$-x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴EC=2$\sqrt{7}$-$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$\frac{13\sqrt{7}}{7}$，
∴cos∠MCN=$\frac{CE}{CM}$=$\frac{\frac{13\sqrt{7}}{7}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{13}{14}$，
故答案为：120，$\frac{13}{14}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．