Question

5．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD得中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若tanB=$\frac{1}{2}$，BC=6，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；
（2）由CD是⊙O的切线，得到CD⊥OC，根据tanB=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，得到PA=2PC，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AP是⊙O的切线；
∴∠B=∠CAP，∵∠P=∠P，
∴△APC∽△BPA，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PA=2PC，
∵△APC∽△BPA，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PA}$，
∴PA²=PC•PB，
即（2PC）²=（PC+6）•PC，
∴PC=2．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理正确的作出辅助线是解题的关键．