Question

【题目】如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．

（1）求证：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∵DF=BE，

∴四边形BEFD是平行四边形，

∴BD∥EF；

（2）解：∵四边形BEFD是平行四边形，

∴DF=BE=4．

∵DF∥EC，

∴△DFG∽CEG，

∴ = ，

∴CE= =4× =6．

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，又DF=BE，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BEFD是平行四边形，再利用平行四边形的对边平行得出BD∥EF；
（2）根据平行四边形的性质得出DF=BE=4．根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似得出△DFG∽CEG，再由相似三角形对应边成比例得出结论。
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．