Question

3．A、B分别为反比例函数y=$\frac{2}{x}$和反比例函数y=$-\frac{32}{x}$上的点，0A⊥0B．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）若AB∥x轴，求AB的长；
（3）设AB与y轴交于点M，当AM：BM=1：2时，求A点坐标．

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图1，设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，-$\frac{32}{b}$），证明Rt△AOC∽Rt△OBD，根据相似三角形的性质得$\frac{\frac{2}{a}}{-b}$=$\frac{a}{-\frac{32}{b}}$=$\frac{OA}{OB}$，则ab=-8，所以可计算出$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ab}{-32}$=$\frac{1}{4}$，然后在Rt△AOB中，利用正切的定义求解；
（2）如图2，由AB∥x轴得∠1=∠OAB，利用正切值相等得到$\frac{2}{{a}^{2}}$=4，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由于ab=-8，可求出b=-8$\sqrt{2}$，于是AB=a-b=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；
（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，如图1，证明△AME∽△BMF，利用相似比得$\frac{a}{-b}$=$\frac{1}{2}$，即b=-2a，而ab=-8，所以a•（-2a）=-8，解得a=2，于是可得到A（2，1）．

解答 解：（1）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图1，
设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，-$\frac{32}{b}$），
∵0A⊥0B，
∴∠AOB=90°，即∠1+∠2=90°，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△AOC∽Rt△OBD，
∴$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OA}{OB}$，即$\frac{\frac{2}{a}}{-b}$=$\frac{a}{-\frac{32}{b}}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴（ab）²=64，
∴ab=-8，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ab}{-32}$=$\frac{-8}{-32}$=$\frac{1}{4}$，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=4；
（2）如图2，∵AB∥x轴，
∴∠1=∠OAB，
而tan∠1=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{2}{{a}^{2}}$，tan∠OAB=4，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$=4，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ab=-8，
∴b=-8$\sqrt{2}$，
∴AB=a-b=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；
（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，如图1，
∵AE∥BF，
∴△AME∽△BMF，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{a}{-b}$=$\frac{1}{2}$，
∴b=-2a，
而ab=-8，
∴a•（-2a）=-8，解得a=2，
∴A（2，1）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．本题的关键是作辅助线构建相似三角形，利用相似比找到线段之间的关系．