Question

20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA垂直于直线l，垂点为点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2$\sqrt{2}$，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在唯一点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出5²-r²=（2$\sqrt{2}$）²-（5-r）²，求出r，证△DPB∽△CPA，得出$\frac{CP}{PD}$=$\frac{AP}{BP}$，代入求出即可；
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE=$\frac{1}{2}$．根据圆O要与直线MN有唯一交点，得出方程$\frac{1}{2}$=r，求出即可．

解答 解：（1）AB=AC，理由如下：
如图1，连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）如图2．延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
则AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{2}$）²-（5-r）²，
∴5²-r²=（2$\sqrt{2}$）²-（5-r）²，
解得：r=4.2，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴$\frac{CP}{PD}$=$\frac{AP}{BP}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{4.2×2}$=$\frac{5-4.2}{BP}$，
解得：PB=1.68$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半径为4.2，线段PB的长为1.68$\sqrt{2}$；

（3）如图3，作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$．
又∵圆O要与直线MN有唯一交点，
∴OE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$=r，
∴r=$\sqrt{5}$，
即⊙O的半径是$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．