Question

【题目】已知：如图，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．

（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，

∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．

∵∠BAC=30°，

∴∠PAC=90°﹣30°=60°．

又∵PA、PC切⊙O于点A、C，

∴PA=PC，

∴△PAC是等边三角形，

∴∠P=60°

（2）解：如图，连接BC．

∵AB是直径，∠ACB=90°，

∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，

可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3 ．

又∵△PAC是等边三角形，

∴PA=AC=3 ．

【解析】（1）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°﹣30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°．（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3 ．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=3 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．