Question

4．如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，P是AD的中点，等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合，当此三角板绕点P旋转时，它的直角边和斜边所在的直线与BC分别相交于E、F两点．设线段BF=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 连接CP、BP，易证△APB与△DPC是全等的等腰直角三角形，那么△CPB是等腰直角三角形，把△BPE绕点P逆时针旋转90°得到△CPG，根据旋转的性质可得PE=PG，∠PCG=∠PBE=45°，从而得到∠FCG=90°，再求出∠FPG=45°，从而得到∠FPG=∠FPE，然后利用“边角边”证明△PEF和△PGF全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=EF，然后表示出BE、CF、EF，再利用勾股定理列式整理得到y与x的函数关系式，最后选择答案即可．

解答 解：如图，连接CP、BP，
∵在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，P是AD的中点，
∴△APB与△DPC都是等腰直角三角形，且△APB≌△DPC，
∴PB=PC，∠BPC=90°．
把△BPE绕点P逆时针旋转90°得到△CPG，连结FG．
则PE=PG，∠PCG=∠PBE=45°，
∴∠FCG=∠BCP+∠PCG=45°+45°=90°，
∵∠EPF=45°，
∴∠FPG=∠FPE=45°，
在△PEF和△PGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PG}\\{∠FPE=∠FPG}\\{PF=PF}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PGF（SAS），
∴EF=GF，
∵BC=AD=2，BF=x，CE=y，
∴CG=BE=2-y，CF=2-x，
EF=BC-BE-CF=2-（2-y）-（2-x）=x+y-2，
在Rt△CFG中，CF²+CG²=FG²，
即（2-x）²+（2-y）²=（x+y-2）²，
整理得，y=$\frac{2}{x}$，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选C．

点评 本题考查了动点问题函数图象，根据点P是AD的中点，作辅助线构造出全等三角形和Rt△CFG是解题的关键，整理得到y与x的函数关系式是本题的难点．