Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I，AM是BC上的中线，G为AM上一点，AG：GM=2：1，IG∥BC．求证：AB+AC=2BC．

Answer 1

分析 延长IG交AC于F，延长GI交AB于E，得到EF∥BC，根据平行线的性质得到∠EIB=∠EBI，∠FIC=∠FCI，根据角平分线的性质得到∠EBI=∠IBM．∠FCI=∠ICM，等量代换得到∠EIB=∠EBI，∠FIC=∠FCI，求得EF=EI+IF=BE+CF，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．

解答 解：延长IG交AC于F，延长GI交AB于E，
∵IG∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠EIB=∠EBI，∠FIC=∠FCI，
∵BI，CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBI=∠IBM．∠FCI=∠ICM，
∴∠EIB=∠EBI，∠FIC=∠FCI，
∴EI=EB，FI=FC，
∴EF=EI+IF=BE+CF，
∵AG：GM=2：1，
∴AM：GM=3：1，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{CF}$=3，
∴BE=$\frac{1}{3}$AB，CF=$\frac{1}{3}$AC，
∴BE+CF=$\frac{1}{3}$（AB+AC），
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$BC，
∴EF=BE+CF=$\frac{1}{3}$（AB+AC）=$\frac{2}{3}$BC，
∴AB+AC=2BC．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．