Question

（2012•通州区一模）已知如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是

3

4

．
四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，则△FAC的面积是

8

．
…
如果两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）边形，正多边形ABCDE …的边长是2a，则△KCA的面积是

2a2sin

360°

n

或（4a2•sin

90°(n-2)

n

×cos

90°(n-2)

n

）

．（结果用含有a、n的代数式表示）

Answer 1

分析：先根据平行线的判定定理得出AB∥CE，再过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数的定义即可求出CF的长，由三角形的面积公式即可求出△BAE的面积；利用三角形的面积公式即可得出△BAE的面积；连接BF，过点B作BM⊥AC，可先判断出AC∥BF，故可得出BM即为△FAC的高，再根据三角形的面积公式即可得出结论；同以上结论，当两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）边形，正多边形ABCDE …的边长是2a可得出△ABC与△KCA同底等高，过点B作BN⊥AC于点N，由锐角三角函数的定义可求出BN及AC的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：如图1，
∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴∠DCE=∠BAC=60°，
∴AB∥CE，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF即为△BAE的高，
∴△ABC与△BAE同底等高，
∴S_△BAE=S_△ABC=

1

2

AB•CF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；
如图2，连接BF，过点B作BM⊥AC于点M，同理可证AC∥BF，故△FAC与△ABC同底等高，
∴S_△FAC=S_△ABC=

1

2

×4×4=8；
如图3，
正多边形ABCDE…中，过点B作BN⊥AC于点N，同上可得S_△KCA=S_△ABC，
∵多边形是正多边形，BN⊥AC，
∴∠NBC=

90°×(n-2)

n

，AC=2NC=2AN，
∵BC=2a，
∴在Rt△BCN中，NC=BC•sin

90°×(n-2)

n

，BN=BC×cos

90°×(n-2)

n

，
∴S_△KCA=S_△ABC=

1

2

AC•BN=

1

2

×2×2a×sin

90°×(n-2)

n

×2a×cos

90°×(n-2)

n

=4a2•sin

90°(n-2)

n

×cos

90°(n-2)

n

=2a2sin

360°

n

．

故答案为：2a2sin

360°

n

或（4a2•sin

90°(n-2)

n

×cos

90°(n-2)

n

）

点评：本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出同底等高的三角形，再根据三角形的面积公式求解．